Matemática

Funcion Gaussiana
Campana de Gauss

En estadística, la función gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss) es una función definida por la expresión:

$f(x) = a e^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }$

donde a, b y c son constantes reales (c > 0).

Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística correspondiendo, en el caso de que a sea igual a

\frac{1}{c\sqrt{2\pi}}

Las gaussianas se encuentran entre las f unciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obteniéndose que:

$\int_{-\infty}^{\infty} a e^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }\,dx = a|c|\sqrt{2\pi}.$

El valor de la integral es 1 si y solo si

a =\frac{1}{c\sqrt{2\pi}}

, en cuyo caso la función gaussiana es la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ²=c². Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta.

Las funciones gaussianas con c² = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.
La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.